Du bist wahrscheinlich in der Entgeltgruppe S 2, oder?
Eingruppierung: Es werden vor allem die auszuübenden Tätigkeiten einer Stelle bewertet (siehe
SuE Tätigkeitsmerkmale). Die Hausaufgabenbetreuung wird demnach offenbar von Deinem Arbeitgeber mit Entgeltgruppe S 2 TVöD, SuE bewertet. Wenn Du diese Bewertung für falsch erachtest und Du für Deine Tätigkeiten z.B. Entgeltgruppe S3 oder S4 gerechtfertigt siehst, kannst Du eine Überprüfung der Eingruppierung beantragen. Und wenn der Arbeitgeber die Entgeltgruppe nicht ändert, kannst Du auf Höhergruppierung klagen.
Stufe: Bei der Einstufung hätte Deine Berufserfahrung gemäß § 16 TVöD berücksichtigt werden müssen, sofern Deine Berufserfahrung tatsächlich einschlägig ist. Ich könnte mir vorstellen, dass Deine Erfahrung einschlägig ist, bin mir aber nicht sicher.
Wenn die 16 Jahre Berufserfahrung einschlägig sind, hättest Du in Stufe 3 eingestuft werden müssen. Das hättest Du am besten vor Antritt der Stelle geklärt.
Du kannst aber Deinen Arbeitgeber zur rückwirkenden Änderung der Stufe auffordern. Wenn der Arbeitgeber die Stufe dann nicht ändert, musst Du klagen.
Es ist sicherlich sinnvoll, den Personalrat anzusprechen und ggfs. auch eine Rechtsberatung in Anspruch zu nehmen (Gewerkschaft oder Anwalt).